мастерская Тихона Волконского
Математическое оригами
Математическое оригами (или математика оригами)
Фигуры в оригами выполняются из геометрических фигур: квадрата, треугольника, прямоугольника, пяти-, шести-, восьмиугольников, и даже круга. Кроме того, с помощью оригами можно решать прикладные математические задачи!
В последние десятилетия в искусстве оригами стали использоваться достижения математики. Подобные исследования занимаются вопросами различных геометрических построений и во многом похожи на соответствующий раздел математики — построения с помощью циркуля и линейки. Помимо этого, математика оригами решает вопрос о возможности плоского складывания, а также вопрос о возможности твердого складывания какой-либо модели.
Данные работы, кроме чисто академического интереса для математиков, имеют и практическую ценность как для оригамистов, так и для инженеров.
Согласно классическому оригами, объектом складывания является неразмеченный квадратный лист бумаги, без разрезов.
Интересно, каким образом была создана эта конструкция?
С точки зрения математики оригами, целью оригамиста является точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам:
- Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.
- Точки определяются пересечениями линий.
- Все складки определяются единственным образом путём совмещения различных элементов листа — линий или точек.
- Сгиб формируется единственной складкой, причем в результате складывания фигура остается плоской.
Последний пункт сильно ограничивает возможности складывания, разрешая только одну складку за раз. На практике даже простейшие модели оригами подразумевают создание нескольких складок за одно действие.
Примерами задач в математике оригами являются складывание карты и складывание марок — это две задачи подсчета количества способов, которыми можно сложить лист бумаги. В задаче складывания марок бумага представляет собой полоску марок со складками между ними, и складки должны лежать на складках.
В задаче о складывании карты бумага представляет собой карту, разделенную сгибами на прямоугольники, и сгибы снова должны лежать только вдоль этих сгибов.
Примерами задач в математике оригами являются складывание карты и складывание марок — это две задачи подсчета количества способов, которыми можно сложить лист бумаги. В задаче складывания марок бумага представляет собой полоску марок со складками между ними, и складки должны лежать на складках.
В задаче о складывании карты бумага представляет собой карту, разделенную сгибами на прямоугольники, и сгибы снова должны лежать только вдоль этих сгибов.
В задаче складывания марок бумага, которую нужно сложить, представляет собой полоску квадратных или прямоугольных марок, разделенных складками, и марки можно складывать только вдоль этих складок. В одной из наиболее часто рассматриваемых версий задачи каждая марка считается отличимой друг от друга, поэтому два сворачивания полосы марок считаются эквивалентными только в том случае, если они имеют одинаковую вертикальную последовательность марок. Например, существует шесть способов сложить полоску из трех разных марок:
Задача сворачивания карты
Сворачивание карты — это вопрос о том, сколько существует способов сложить прямоугольную карту по ее сгибам, позволяя каждой складке образовывать либо горную, либо долинную складку.
Такое сворачивание отличается от складывания марок тем, что включает в себя как вертикальные, так и горизонтальные сгибы, а не только сгибы в одном направлении.
Существует восемь способов сложения карты 2×2 по ее сгибам, считая каждую отдельную вертикальную последовательность сложенных квадратов отдельным способом сворачивания карты (взгляните на рисунок ниже):
Такое сворачивание отличается от складывания марок тем, что включает в себя как вертикальные, так и горизонтальные сгибы, а не только сгибы в одном направлении.
Существует восемь способов сложения карты 2×2 по ее сгибам, считая каждую отдельную вертикальную последовательность сложенных квадратов отдельным способом сворачивания карты (взгляните на рисунок ниже):
Задача о мятом рубле, или задача о салфетке Маргулиса
Задача о мятом рубле, или задача о салфетке Маргулиса, — задача о математике оригами. Впервые ее предложил Владимир Арнольд в 1956 году (и ее можно найти под номером 1 в книге «Задачи Арнольда», М: Фазис, 2000). Название задачи — «Задача о мятом рубле» — обусловлено тем, что рубль в то время был бумажным.
На западе задача также известна как «задача о салфетке Маргулиса» или просто как «задача о складывании салфетки» (Napkin folding problem).
Если после складывания часть бумаги как бы «приклеивается» к себе, то, очевидно, что периметр уменьшается.
На западе задача также известна как «задача о салфетке Маргулиса» или просто как «задача о складывании салфетки» (Napkin folding problem).
Если после складывания часть бумаги как бы «приклеивается» к себе, то, очевидно, что периметр уменьшается.
Так решается задача с помощью оригами
А вот если можно складывать как угодно, только чтобы в итоге получилась плоская фигура, то решение у задачи есть и нашли его оригамисты. Например, при складывании классической модели «Журавлик», получится (при «вдавливании в плоскость») фигура с большим периметром, чем периметр первоначального квадратного листа.
оригамист Роберт Лэнг и его решение задачи о периметре
Первое «решение» задачи предложил американский оригамист Роберт Лэнг (Robert J. Lang), собрав в 1987 году фигурку морского ежа, которая, по сути, дает решение. Немного упрощенную идею решения он описал в 2003 году в книге «Origami design secrets» (пока не переведенной на русский язык).
Удивительно, но оказывается, периметр сложенной фигуры можно сделать не просто больше чем периметр исходного листа. Можно сделать его сколь угодно большим.
Удивительно, но оказывается, периметр сложенной фигуры можно сделать не просто больше чем периметр исходного листа. Можно сделать его сколь угодно большим.
Идея такого построения в том, чтобы повторить конструкцию «тонкого журавлика» много раз вдоль всего листа бумаги, по горизонтали и вертикали. Как раз так и получается морской еж Лэнга. Это позволяет получить сколь угодно много тонких отростков. Нужно только убедиться, что суммарная длина отростков может быть сделана сколь угодно большой.
Но в построениях Лэнга было несколько неясных с математической точки зрения моментов.
Дело в том, что бумага, как ее понимают оригамисты, отличается от идеальной математической бумаги несколькими параметрами.
Но в построениях Лэнга было несколько неясных с математической точки зрения моментов.
Дело в том, что бумага, как ее понимают оригамисты, отличается от идеальной математической бумаги несколькими параметрами.
Самое главное отличие в том, что оригамисты при сборке моделей иногда немного растягивают или сжимают бумагу, а для математической бумаги это запрещено. Другое отличие бумаги настоящей от математической скорее играет на руку математикам: идеальная бумага не имеет толщины, а, значит, можно накладывать сколько угодно слоев бумаги друг на друга, и гнуть полученный «сэндвич», не боясь, что он порвется или растреплется. Только делать это приходится исключительно в уме. Если вы попробуете сделать очень тонкие отростки, то не удивляйтесь, если они получатся потрепанными и некрасивыми.
"Расческа Тарасова" - еще одно решение задачи "о мятом рубле"
Математически строгое доказательство того, что периметр можно сделать сколь угодно большим (а заодно и строгая формулировка задачи), было предложено Алексеем Тарасовым в статье Решение задачи Арнольда о «мятом рубле». Он не знал ни про журавлика, ни про морского ежа, а придумал оригинальную конструкцию, которая получила впоследствии имя «расческа Тарасова».
"Расческа" Тарасова
Примерами математических задач, которые можно решить при помощи оригами являются также: задача об удвоении куба и задача о трисекции угла. Они оказались неразрешимыми с помощью циркуля и линейки, но их можно решить при помощи оригами, используя всего несколько сгибов бумаги.
Решение задачи трисекции угла с помощью циркуля
Решение задачи трисекции угла с помощью оригами
Решение математических задач с помощью оригами
Изучение оригами с применением геометрических принципов (таких, например, как теорема Хаги: сторону квадрата можно разделить на произвольную рациональную дробь различными способами), позволило найти способы точно сгибать сторону квадрата на трети, пятые, седьмые и девятые доли.
Другие теоремы и методы позволили получать из квадрата другие формы, такие как равносторонние треугольники, пятиугольники, шестиугольники и другие формы фигур. Разработаны методы складывания большинства правильных многоугольников вплоть до правильного 19-угольника включительно.
Техника оригами позволяет также формировать из бумаги складываемые поверхности, которые не являются плоскими. Мокрое оригами, техника, разработанная Акирой Ёсидзавой, позволяет изогнутыми сгибами создавать еще больший диапазон форм более высокого порядка сложности.
Вычислительное оригами - еще один шаг вперед
С математическим оригами тесно связано вычислительное оригами. Оно появилось не так давно — в 1990-х годах. Это отдельная отрасль информатики, которая занимается изучением алгоритмов складывания бумаги. Результаты вычислительного оригами касаются либо дизайна оригами, либо возможности складывания оригами. В задачах проектирования оригами цель состоит в том, чтобы спроектировать объект, который можно сложить из бумаги с учетом определенной целевой конфигурации.
Область вычислительного оригами значительно расширилась благодаря алгоритмизации процесса разработки схем оригами.
Область вычислительного оригами значительно расширилась благодаря алгоритмизации процесса разработки схем оригами.
Роберт Лэнг как создатель компьютерной программы для оригами
Большой вклад в эту область внёс американский физик, а также мастер и теоретик оригами Роберт Лэнг (род. 1961 г.). Он известен своими сложными и элегантными моделями, наиболее примечательные из них — фигурки насекомых и животных. Роберт Лэнг также достиг больших успехов в применении оригами к инженерным проблемам.
Им была создана одна из наиболее продвинутых специализированных компьютерных программ для оригами TreeMaker.
Им была создана одна из наиболее продвинутых специализированных компьютерных программ для оригами TreeMaker.
